جملات نمونه از منابع مختلف جمع آوری شده است، اگر صحیح نیست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید.
💡 ارنست تسرملو در هنگام کار روی نظریه اصل موضوعی مجموعهها که در سال ۱۹۰۸ آن را منتشر ساخت، به این پارادکس پیبرد ولی گمان کرد نکتهٔ کوچکی است و لذا هیچگاه آن را منتشر نساخت. تسرملو در دستگاه اصل موضوعی خود، از این پارادکس با بهرهگیری از اصل موضوعی با عنوان اصل موضوع تصریح جلوگیری کرد.
💡 بسیاری از مفاهیم ریاضی میتوانند به صورت دقیق تنها با استفاده از مفاهیم نظری بیان شوند. برای مثال، ساختارهای متنوعی مانند گراف، خمینهها، حلقهها، و فضاهای برداری همه میتوانند به صورتی تعریف شوند که خواص اصل موضوعی متنوعی را داشته باشند. رابطه همارزی و روابط ترتیب در ریاضیات همه جا هستند، و نظریه روابط ریاضی در نظریه مجموعهها میتوانند تعریف شوند.
💡 برنشتاین به ویژه به دلیل کارهایش در نظریه تقریب نامبردار است. او برای اثبات قضیه استون- وایرشتراس چندجمله ایهایی را که امروز به نام او به چندجمله ایهای برنشتاین نامبردار هستند معرفی نمود. افزون بر اینها برنشتاین به نظریه احتمالات پرداخت و در سال ۱۹۱۷ به اصل موضوعی کردن احتمالات پرداخت. وی در سال ۱۹۳۲ در کنگره جهانی ریاضیدانان در زوریخ سخنرانی کرد.
💡 و معرفی بعضی از اجسام پنجگانه افلاطونی یا اجسام منتظم پنجگانه (یک چند وجهی را منتظم گوییم اگر وجوه آن چند ضلعیهای منتظم مساوی باشند و کنجهای آن نیز همگی برابر)(ز) بسط روش اصل موضوعی که اثبات یک ادعاست به وسیله سلسله استنتاجهای دقیق از چند فرض آغازین که کاملاً مشخص هستند.
💡 در حقیقت هرآنچه از اصول موضوع مجموعهساز در نظریه اصل موضوعی مجموعهها بیان میکنیم، ازجمله اصل موضوع زوجسازی، اصل موضوع اجتماع و... حالات کاذبی از اصل موضوع تصریح میباشند. چرا که همهٔ آنها وجود مجموعهای را با بیان یک خاصیت بیان میکنند، اما معلوج نمیباشد عضوهایی که باید در شرط صدق کنند از کجا آورده میشوند.
💡 آنها سعی کردند نظریه مجموعهها را بر پایهٔ اصولی قویتر و پیچیدهتر از اصل موضوع گسترش استوار کنند تا از تعریف چنین مجموعههایی جلوگیری شود. این پارادکس، راسل را برای گسترش هرچه بیشتر نظریهٔ انواع و ارنست تسرملو را برای گسترش نظریه اصل موضوعی مجموعهها سوق داد و موجب پیدایش نظریه مجموعههای تسرملو-فرانکیل و سایر دستگاههای اصل موضوعی مجموعهها شد.
