ایده ال

( ایده آل ) ( ~. ) [ فر. ] (اِ. ) کمال مطلوب، آرزوی عالی.

( ایده آل ) ۱. کمال مطلوب، منتهای آرزو و آرمان.
۲. ویژگی آنچه در اعلا درجۀ کمال باشد.

کمال مطلوب، آر وی عالی، منتهای آرزوو آرمان، اعلی درجه کمال درقوه تصور

ایده آل (نظریه حلقه ها). یک ایده آل ( به انگلیسی: ideal ) در نظریه حلقه ها، که شاخه ای جبر مجرد است، یک «زیرمجموعه به خصوص» از اعضای یک حلقه است. ایده آل ها زیرمجموعه های معینی از اعداد صحیح مثل اعداد زوج یا اعداد مضارب ۳ را تعمیم می دهند. جمع و تفریق اعداد زوج، زوجیت را حفظ می کند، و همچنین ضرب یک عدد زوج با هر عدد صحیح دیگر، یک عدد زوج خواهد بود؛ این خاصیت های بسته بودن و جذبی، خواص تعریف کننده یک ایده آل هستند. از ایده آل می توان برای ساخت حلقه خارج قسمتی استفاده کرد، به همان روشی که در نظریه گروه ها، از یک زیرگروه نرمال برای ساخت یک گروه خارج قسمتی استفاده می شود.
از بین اعداد صحیح، ایده آل ها در تناظر یک به یک با اعداد صحیح نامنفی هستند: در این حلقه، هر ایده آل یک ایده آل اصلی است که شامل ضرایب یک عدد نامنفی است. با این حال، در دیگر حلقه ها، ایده آل ها در تناظر مستقیم با عناصر حلقه نیستند، و ویژگی های معین اعداد صحیح، وقتیکه به حلقه ها تعمیم داده شوند، به صورت طبیعی تر با ایده آل ها و نه عناصر حلقه، متصل می گردند. برای مثال، ایده آل های اول یک حلقه، مشابه اعداد اول بوده و قضیه باقیمانده چینی را می توان به ایده آل ها تعمیم داد. نسخه ای از تجزیه یکتا به اعداد اول برای ایده آل های دامنه ددکیند ( نوعی حلقه که در نظریه اعداد اهمیت دارد ) هم وجود دارد.
مفهوم مرتبط اما متفاوت، مفهوم ایده آل در نظریه ترتیب است که، از مفهوم ایده آل ها در نظریه حلقه ها منشأ گرفته است. یک ایده آل کسری نوعی تعمیم برای ایده آل است، از این رو به ایده آل های معمولی برای ابهام زدایی بهتر گاهی ایده آل های صحیح می گویند.
ایده آل ها اولین بار توسط ریچارد ددکیند در ۱۸۷۶ میلادی در ویرایش سوم کتابش با عنوان Vorlesungen über Zahlentheorie ( رساله هایی در مورد نظریه اعداد ) ارائه شدند. آن ها تعمیم مفهوم اعداد ایده آل بودند که توسط ارنست کومر توسعه یافته بودند. سپس این مفهوم توسط دیوید هیلبرت و به خصوص امی نوتر گسترش یافتند.
برای یک حلقه دلخواه چون ( R , + ,. )، ( R , + ,. ) را مجگروه جمعی آن در نظر بگیرید. زیرمجموعه ای چون I را ایده آل چپ حلقه R گویند اگر زیرمجموعه ای جمعی از R باشد که «ضرب عناصر R را از سمت چپ جذب کند»، یعنی I یک ایده آل چپ است اگر دو شرط زیر را ارضاء کند:
• ( I , + ) {\displaystyle ( I, + ) } یک زیرگروه از ( R , + ) {\displaystyle ( R, + ) } باشد،
• برای هر r ∈ R {\displaystyle r\in R} و هر x ∈ I {\displaystyle x\in I}، ضرب r x {\displaystyle rx} در I {\displaystyle I} باشد.

💡 جمعیت این روستا بالغ بر ۳۲۰۰ نفر است که عمدتاً کشاورز می‌باشند. این منطقه دارای بیش از ۲۰۰۰ هکتار زمین زراعی است و رود «سیاهرود» از کنار آن می‌گذرد. این منطقه به دلیل غنای ذخایر آب‌های سطحی و زیر زمینی (رود، چاه و حوضچه‌های وسیع آبی)، حتی در زمان‌های خشکسالی، از بهترین و ایده ال‌ترین مناطق استان مازندران و حتی دنیا برای کار زراعت و باغداری به حساب می‌آید. به دلیل خلوص بالای آب‌های زیر زمینی این منطقه، هم‌اکنون از چاه‌های واقع در آن برای تأمین مقدار زیادی از آب شرب مناطق اطراف و شهر ساری استفاده می‌گردد. محصولات این منطقه: انواع مرکبات و برنج، پنبه، غلات، سیفیجات، کنجد و...

💡 در ریاضیات و به ویژه در جبر جابجایی، یک ایده‌آل تک جمله‌ای عبارت است از یک ایده ال در حلقه چندجمله‌ای‌ها که به وسیلهٔ تک جمله‌ای‌ها تولید می‌شود. همچنین، یک ایده ال تک جمله‌ای را، خالی از مربع گوییم اگر این ایده‌آل به وسیلهٔ تک جمله ای‌هایی تولید شود که بر مربع هیچ‌کدام از متغیرها بخشپذیر نباشند.