دوازده‌وجهی

از سوی دیگر برای نمایش مختصات دکارتی دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم به نسبت طلایی نیاز است. مختصات رئوس دوازده‌وجهی را می‌توان به‌سادگی از طریق رئوس سه مستطیل طلایی (مستطیلی که نسبت طول به عرض آن برابر 1:φ است) عمود برهم محاسبه کرد. اضلاع دوازده‌وجهی پاره‌خط‌هایی هستند که هر رأس مستطیل‌های طلایی را به پنج رأس همسایهٔ آن وصل می‌کنند.

خود فیثاغورث (حدود ۵۸۰ تا ۵۰۰ پ.م.) احتمالاً چهاروجهی منتظم، مکعب، و دوازده‌وجهی منتظم را می‌شناخت. او ۲۰ سال را در مصر گذرانده بود و احتمالاً این اطلاعات را آنجا آموخته بود.

افلاطون در این نوشته از دوازده‌وجهی منتظم به سرعت می‌گذرد و تنها جمله‌ای که دربارهٔ آن بیان می‌دارد این است که «خدا آن را در آفرینش کل جهان به کار برده‌است.»

هوپسیکلس ریاضیدان یونانی بود که در نیمه اول سده دوم قبل از میلاد در اسکندریه برآمد. پدرش از معاصران سال‌خوردهٴ آپولونیوس بود. او رسالهٴ معروف به کتاب چهاردهم اصول اقلیدس را نوشت، که حاوی هشت قضیهٴ مربوط به دوازده‌وجهی و بیست‌وجهی منتظم است.

با به‌هم رسیدن سه پنج‌ضلعی منتظم در هر رأس، دوازده‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر ۳ × ۱۰۸° = ۳۲۴° می‌شود که از ۳۶۰° کمتر است، بنابراین دوازده‌وجهی منتظم جسم افلاطونی است.

علاوه بر سه چندبر، در فضای سه‌بعدی دو چندوجهی (دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم) و در فضای چهاربعدی سه چندبر (معروف به ۲۴-خانه،