تابع محدب

[ریاضی] ← تابع کوژ

در ریاضیات، تابع کوژ ( به انگلیسی: Convex Function ) ( یا تابع محدب )، تابع حقیقی - مقداری است که روی بازه n - بعدی تعریف شده و پاره خط بین هر دو نقطه از نمودار آن بالای نمودار بین آن دو نقطه قرار گیرد. به طور معادل، یک تابع کوژ است اگر اپی گراف ( مجموعه نقاط رو یا بالای نمودار تابع ) آن مجموعه ای کوژ باشد. تابع تک متغیره، دوبار دیفرانسیل پذیر است اگر و تنها اگر مشتق دوم آن روی تمام دامنه نا - منفی باشد. مثال های شناخته شده از توابع کوژ تک - متغیره شامل تابع مربعی x 2 و تابع نمایی e x می باشد. به بیان ساده، تابع کوژ، تابعی است که به شکل ∪ ( cup ) و تابع مقعر به شکل ∩ ( cap ) است.
توابع کوژ نقش مهمی را در بسیاری از مباحث ریاضی بازی می کنند. به خصوص در مطالعه مسائل بهینه سازی که توسط خواص مناسبی از بقیه توابع متمایز می شوند. به عنوان مثال، تابع اکیداً کوژ روی یک مجموعه باز، بیش از یک مینیمم ندارد. حتی در فضاهای بی نهایت بعدی، تحت فرض های مناسب اضافی، توابع کوژ هنوز هم خواص خود را حفظ کرده و نتیجتاً جزو شناخته شده ترین تابعی ها در حساب تغییرات اند. در نظریه احتمالات، وقتی توابع کوژ را بر روی امید ریاضی یک متغیر تصادفی اعمال می کنند، همیشه از بالا توسط امید ریاضی تابع کوژ آن متغیر تصادفی محدود می شود، یعنی کران بالای آن این مقدار است یا به بیان دقیق تر: E ⁡ ( f ( X ) ) ≥ f ( E ⁡ ( X ) ). به خاصیت اخیر که در قالب یک نامساوی بیان شد، نامساوی جنسن ( یا ینسن ) گفته شده که می توان آن را جهت استنتاج نابرابری هایی چون نابرابری میانگین حسابی - هندسی و نابرابری هولدر نیز به کار برد.
فرض کنیم − ∞ ≤ a < b ≤ + ∞، تابع f: ( a , b ) → R را کوژ گوییم در صورتی که به ازای هر دو عدد x 1 , x 2 ∈ ( a , b ) و هر t که 0 ≤ t ≤ 1، داشته باشیم:
اگر در تعریف بالا تساوی را برداریم آنگاه f را اکیداً کوژ می نامیم.

💡 یک روش بهینه‌سازی سبد این است که تابع مطلوبیت فون نویمان و مورگنسترن را برای ثروت نهایی سبد تعریف کنیم. ارزش مورد انتظار مطلوبیت باید بیشترین مقدار باشد. برای نشان دادن ترجیح بازده بیشتر به کمتر در این تابع، ثروت افزایشی است و برای نشان دادن ریسک گریزی این تابع محدب است.

💡 توزیع گمپرتز، یک توزیع انعطاف‌پذیر است و ممکن است به راست یا چپ متمایل شود، تابع شکست آن یک تابع محدب

💡 در یک تابع محدب اپی گراف محدب است و همچنین اگر اپی گراف یک تابع محدب باشد خود تابع نیز محدب است.

💡 در برنامه‌ریزی غیر خطی محدودیت‌ها الزاماً خطی نیستند. با این حال، بسیاری از همان اصول صدق می‌کنند. به منظور کسب اطمینان از اینکه مقدار بیشینهٔ سراسری یک مسئلهٔ غیر خطی می‌تواند به آسانی یافت شود، فرمولاسیون مسئله معمولاً به این نیاز دارد که تابع محدب بوده و مجموعه‌های سطح پایین فشرده داشته باشد.