توزیع دوجمله ای

{binomial distribution} [آمار، ریاضی] توزیع احتمال تعداد موفقیت ها در آزمایه های برنولی به تعداد معین و با احتمال موفقیت مفروض در هر آزمایه

توزیع دوجمله ای نوعی توزیع پرکاربرد در آمار، اقتصاد، و علوم تجربی است. در نظریهٔ احتمال و آمار توزیع دوجمله ای توزیعی گسسته است از تعداد موفقیت ها در دنباله ای شامل n آزمایش مستقل برنولی همه با احتمال موفقیت p ( توزیع برنولی ). در واقع متغیر تصادفی X ( تعداد موفقیت ها ) را متغیر دوجمله ای با پارامترهای n و p می گویند.
یک آزمایش دوجمله ای بایستی دارای ویژگی های زیر باشد:
• آزمایش دارای n تعداد آزمون یکسان و عیناً مشابه باشد.
• نتیجه هر آزمون فقط به یکی از این دو صورت باشد: موفق یا ناموفق.
• احتمال موفقیت آزمونی را اگر با p نشان دهیم، از آزمون به آزمون یکسان بوده و متغیر نباشد. احتمال ناموفقیت را با q نشان داده که برابر است با q=1 - p
• آزمون ها مستقل باشند.
درحالت کلی اگر X یک متغیر تصادفی دوجمله ای با پارامترهای p, n باشد، آن را به صورت ( X ~ B ( n, p نمایش می دهیم. احتمال بدست آوردن k موفقیت با تابع جرم احتمال زیر مشخص می شود:
حال می خواهیم بررسی کنیم که این فرمول چگونه بدست آمده است: توجه کنید که تعداد راه های ممکن در انجام n آزمایش برنولی که می تواند به k موفقیت منتهی شود برابر است با تعداد دنباله های مختلف به طول n از حروف b , a با k حرف a ( موفقیت ) و n - k حرف b ( شکست ). اما تعداد این دنباله ها برابر است با ( n k )، زیرا تعداد جایگشت های متمایز n حرف از دو نوع مختلف، که k تا همانند از نوع اول و n - k تا همانند از نوع دوم وجود دارد برابر است با n ! k ! ( n − k ) !. باتوجه به استقلال امتحان ها چون احتمال هریک از این دنباله پیشامدها برابر p k ( 1 − p ) n − k است داریم:
دلیل اینکه به این توزیع دوجمله ای می گویند این است که قضیهٔ بسط دوجمله ای تضمین می کند که p ( k ) یک تابع جرم احتمال است:
تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی دوجمله ای به شکل زیر است:
اگر یک تیرانداز با احتمال ۰/۷ تیری را به هدف بزند و x تعداد تیرهای به هدف خورده در ۵ شلیک باشد؛ ابتدا توزیع احتمال x را معلوم کنید و هر یک از احتمال های زیر را به دست آورید. الف - دقیقاً ۳ تیر به هدف بزند. ب - حداکثر ۲ تیر به هدف بزند. ج - هیچ تیری به هدف نزند. متغیر تصادفی x، دارای توزیع دو جمله ای با پارامترهای n=۵ , p=۰٫۷ است که تابع احتمال آن را به صورت زیر می نویسیم:

💡 در واقع، تابع جرم توزیع دوجمله ای به صورت زیر می‌باشد.

💡 در آمار و احتمالات، به دسته‌ای از توزیع‌ها توزیع گسسته گویند که در آنها متغیر تصادفی تنها می‌تواند تعداد محدود یا تعداد شمارایی از مقادیر را اختیار کند. از توزیع های گسسته میتوان توزیع دوجمله ای، توزیع هندسی، توزیع فوق هندسی و توزیع پواسون را نام برد.

💡 لنکستر ارتباطات بین توزیع دوجمله ای، توزیع نرمال و توزیع کای-اسکور را به شرح زیر نشان می‌دهد. دی موایر و لاپلاس ثابت کردند که یک توزیع دوجمله ای می‌تواند تقریباً یک توزیع نرمال باشد. آنها به‌طور خاص نرمال مجانبی متغیر تصادفی را نشان دادند.