گروه ابلی

گروه آبلی
{Abelian group} [ریاضی] هر گروه که عمل دوتایی آن جابه جایی باشد متـ. گروه جابه جایی 1 commutative group

گروه آبلی. گروه آبلی ( به انگلیسی: Abelian group ) یا گروه جابجایی پذیر یا گروه جابجایی، در ریاضیات، گروهی است که نتیجه اعمال عمل گروه به دو عنصر گروه به ترتیبی که این دو عنصر نوشته شده اند بستگی ندارد؛ یعنی باید عمل گروه جابه جایی پذیر باشد. مثلاً اگر جمع را عمل گروه در نظر بگیریم، اعداد صحیح و اعداد حقیقی دو گروه آبلی تشکیل می دهند، و مفهوم یک گروه آبلی را می توان تعمیمی برای این مثال ها دانست. گروه های آبلی به افتخار ریاضیدان قرن نوزدهم نیلس هنریک آبل نامگذاری شده اند.
مفهوم یک گروه آبلی زیربنای بسیاری از ساختارهای جبری اساسی، مثل میدان، حلقه، فضای برداری، و جبر روی یک میدان است. نظریه گروه های آبلی معمولاً ساده تر از همتایان غیر - آبلیشان هستند، گروه های آبلی متناهی به خوبی بررسی و کاملاً طبقه بندی شده اند.
گروه آبلی به مجموع های مانند G می گویند که دارای عملگری مانند * باشد و این عملگر در مجموعه G دارای خاصیت جابجایی باشد، یعنی برای هر a و b در G داشته باشیم: a * b = b * a در این صورت می گوییم ( *، G ) «گروه آبلی» است.
گروه آبلی شامل مجموعه ای مانند A و عملگر دوتایی مانند «•» است بگونه ای که ( A، • ) دارای ویژگی های زیر باشد:
• بسته بودن: برای هر a و b در A، حاصل a•b در A باشد.
• شرکت پذیری: برای هر a, b، c در A داشته باشیم:. a • ( b • c ) = ( a • b ) • c
• جابجایی: برای هر a و b در A، باید a •b =b • a
• وجود عنصر همانی: یک e∈A وجود دارد بطوریکه برای هر a ∈ A، داشته باشیم a • e = e • a = a.
• وجود عنصر عکس: برای هر a∈A، یک b∈A وجود دارد که a • b = b • a = e. ( e همان عنصر همانی است )
مجموعهٔ همهٔ ماتریس های m*n با درآیه های حقیقی تحت عمل جمع یک گروه آبلی است. ماتریس های مربعی تحت عمل ضربِ ماتریس ها روی R یک گروه آبلی است.
نوشتن به این معنی که عناصر مجموعه A اعداد 1، 2، 3 و 4 هستند. برای مثال مجموعه عناصر A، زیر مجموعه های A هستند.
مجموعه ها خودشان می توانند عناصر باشند. به عنوان مثال، مجموعه را در نظر بگیرید. عناصر B 1، 2، 3 و 4 نیستند. بلکه فقط سه عنصر B وجود دارد، یعنی اعداد 1 و 2 و مجموعه.
عناصر یک مجموعه می تواند هر چیزی باشد. مثلا، مجموعه ای است که عناصر آن رنگ های قرمز، سبز و آبی است.
رابطه "یک عنصر از" است که به آن عضویت در مجموعه نیز می گویند، با نماد "∈" نشان داده می شود. نوشتن

💡 این مجموعه در کنار گروهی از عملگرهای منحنی بیضوی تشکیل یک گروه آبلی می‌دهد که یک نقطه در بی‌نهایت به عنوان عنصر مشخص کننده دارد. ساختار این گروه از گروه تقسیم زیر به ارث رسیده‌است:

💡 مجموعه توانی هر مجموعه با عملگر تفاضل متقارن، یک گروه آبلی را تشکیل می‌دهد؛ که مجموعه تهی عضو خنثی گروه و هر عضوی از این گروه، معکوس خودش است.

💡 هر سه ساختارهای جبری هم‌نوع باشند (مثلا، همه گروه آبلی باشند، یا همه فضای برداری باشند). این موضوع وابسته به این است که جمع مستقیم از بابت ایزوریختار انجمنی است؛ یعنی،

💡 مجموعه‌ای از توزیع‌های معکوس پذیر یک گروه آبلی را تحت هم‌گشت تشکیل می‌دهند.

💡 است. برای آنکه ببینید چگونه جمع مستقیم در جبر مجرد استفاده می‌شود، یک ساختار ابتدایی‌تر در جبر مجرد، یعنی گروه آبلی را در نظر بگیرید. جمع مستقیم دو گروه آبلی