مجتمع خانه ای

در حوزه‌ی توپولوژی، فضای هاسدورف به فضایی گفته می‌شود که در آن، برای هر دو نقطه متمایز، همسایگی‌های مجزایی وجود داشته باشد. این ویژگی، تضمین می‌کند که توالی‌ها حداکثر یک حد داشته باشند و فضا از نظر ساختاری از نظم بالایی برخوردار باشد. هنگامی که چنین فضایی ویژگی تفکیک‌پذیری را نیز دارا باشد، یعنی دارای یک زیرمجموعه‌ی شمارا و چگال باشد، مطالعه‌ی آن بسیار غنی‌تر می‌شود.

مفهوم جامعه‌ی خانه‌ای یا اجتماع خانه‌های جدای از هم به ساختار خاصی در یک فضای توپولوژیک اشاره دارد. در این ساختار، فضا را می‌توان به صورت اجتماع مجموعه‌هایی نوشت که هر یک هم‌بند و باز هستند و همچنین دو به دو از هم جدا می‌باشند. این اجزای جدای از هم، به عنوان خانه‌ها در نظر گرفته می‌شوند که در عین استقلال، در کنار یکدیگر کل فضای مورد نظر را تشکیل می‌دهند.

حال، هنگامی که یک فضای هاسدورف تفکیک‌پذیر را در نظر می‌گیریم که به صورت یک جامعه‌ی خانه‌ای از مجموعه‌های جدای از هم سازمان یافته است، با موقعیت بسیار جالبی روبه‌رو می‌شویم. ترکیب این ویژگی‌ها یعنی قاعده‌مند بودن فضا (هاسدورف)، وجود زیرمجموعه‌ی شمارای اثرگذار (تفکیک‌پذیر) و ساختار جزءبه‌جزء مجزا (اجتماع خانه‌های جدای از هم) منجر به پیدایش فضاهایی با خواص ترکیبی‌ای می‌شود که هم از نظر نظری عمیق و هم از نظر کاربردهای ممکن، قابل تأمل هستند.