جایگشت یکی از مفاهیم پایه‌ای در ریاضیات و به‌ویژه در شاخه ترکیبیات است که به ترتیب‌ها و چیدمان‌های مختلف عناصر یک مجموعه اشاره دارد. وقتی گفته می‌شود «جایگشت عناصر یک مجموعه»، منظور همه حالت‌های ممکن برای مرتب کردن آن عناصر است، به‌طوری که ترتیب آن‌ها اهمیت دارد. به بیان ساده، جايگشت‌ها نشان می‌دهند که چگونه می‌توان اعضای یک مجموعه را به روش‌های متفاوت کنار هم قرار داد.
در ریاضیات، برای محاسبه تعداد جایگشتها از فرمول n! استفاده می‌شود، که در آن n تعداد عناصر مجموعه است و علامت «!» نماد فاکتوریل است. برای مثال، اگر مجموعه‌ای سه عنصری مانند {a,b,c} داشته باشیم، تعداد جایگشت‌های ممکن برابر با 3!=3×2×1=6 است و همه ترتیب‌ها مانند abc,acb,bac,bca,cab,cba محاسبه می‌شوند. این مفهوم در مسائل احتمال، رمزنگاری و طراحی الگوریتم‌ها کاربرد گسترده دارد.
علاوه بر مسائل محاسباتی، جايگشت‌ها در زندگی روزمره نیز دیده می‌شوند. برای مثال، ترتیب قرار گرفتن افراد در صف، انتخاب رمزهای عددی، یا ترتیب نمایش محصولات در یک فروشگاه همگی می‌توانند به نوعی جايگشت محسوب شوند. درک این مفهوم نه تنها مهارت‌های ریاضیاتی را تقویت می‌کند، بلکه در حل مسائل ترکیبی و برنامه‌ریزی‌های بهینه نیز کاربرد فراوان دارد.
{permutation} [آمار، ریاضی] 1. آرایه ای مرتب از همه یا بخشی از یک مجموعه اشیا 2. تابعی یک به یک از یک مجموعه به روی خودش
جایگشت ( به انگلیسی: Permutation )، در قلمرو ترکیبیاتی آن به معنی مرتّب سازی یا تغییر ترتیب اعضای یک مجموعه می باشد. ممکن است این چیدمان خطی یا غیر خطی ( مثلاً دور یک دایره، که در این حالت جایگشت دوری نامیده می شود ) صورت گیرد. اعضای مجموعه نیز می توانند هر چیزی باشند؛ مثلاً شیء یا عدد یا حرف و همچنین می توانند تکراری باشند یا متمایز. در هر مورد، مهم، تعداد طرق چیدن این اعضا است.
جایگشت ( خطی ): هر ترتیب قرار گرفتن n شی در کنار هم را یک جایگشت می نامند.
چنان چه بخواهیم از میان n شیء، شمار r شیء را برگزینیم و در آن زیرمجموعه، ترتیب هم مهم باشد؛ شمار جایگشت ها چنین بدست می آید:
P r n = n ! ( n − r ) !
فرض کنید می خواهیم n دانش آموز ( به عنوان اشیا متمایز ) را در یک صف قرار دهیم:
در جایگاه اول ممکن است هر یک از n دانش آموز بایستند پس برای مکان اول ( ابتدای صف ) n حالت مختلف وجود دارد. در جایگاه دوم n − 1 دانش آموز باقی مانده ( به جز دانش آموزی که در جایگاه اول صف ایستاده ) می توانند قرار بگیرند پس تا اینجا به n × ( n − 1 ) حالت مختلف توانستیم دو مکان اول را با دو دانش آموز پر کنیم. به همین ترتیب برای جایگاه سوم:
n × ( n − 1 ) × ( n − 2 )
حالت و برای i امین جایگاه به تعداد:
حالت داریم. با همین روند تمام n جایگاه را به:
n × ( n − 1 ) × ( n − 2 ) × ⋯ × 2 × 1
طریق می توان با n دانش آموز پر کرد؛ که همان تعداد روش های ایستادن n دانش آموز در یک صف می باشد. حاصل ضرب فوق را «جایگشت n شی متمایز» می نامند و آن را با نماد n ! ( خوانده می شود n فاکتوریل ) نشان می دهند.
گاه جایگشت تنها r عضو از کل n عضو مجموعه مد نظر است. در این حالت می توان آن را تبدیل r از n نیز نامید.
اگر مجموعه ای از n شی در اختیار داشته باشیم، هر آرایش خطی متشکل از r تا از این اشیا، را یک جایگشت r شی از این n شی می نامیم.
جایگشت r شی از n شی را با نمادهای P ( n , r ) = P r n = ( n ) r نمایش می دهند.
درست مانند طریقه محاسبه جایگشت های n تایی ( مربوط به کل مجموعه n تایی ) که در بالا انجام گرفت عمل می کنیم، با این تفاوت که در اینجا تنها r جایگاه برای قرار گرفتن اشیا موجود است. پس تنها تا مرحله r ام پیش می رویم یعنی فقط r شی از n شی را در r مکان داده شده قرار می دهیم که با توجه به اثبات فوق، مقدار این جایگشت برابر خواهد بود با:
جایْگَشْت (permutation)
در ریاضیات متمایز، آرایش۱ یا رشتۀ مرتبی از همۀ عضوهای دسته ای از اشیاء یا تعدادی از آن ها. تعداد جایگشت های ممکنn شیء متمایز، اگر همۀ آن ها در هر جایگشت بیایند، برابر است با!n، که! علامت فاکتوریل۲ است. مثلاً جایگشت های سه حرفی حروف z ,y ,x عبارت اند از zyx, zxy, yxz ,yzx ,xzy, xyz که تعداد آن ها برابر است با ۶ = ۳× ۲× ۱ =!۳، اما تعداد جایگشت های r شیء برگزیده از n شیء برابر است با(فرمول ۱).فرمول ۱:
مثلاً اگر شش حرف متفاوت الفبا را در نظر بگیریم، تعداد جایگشت های چهار حرف از میان این شش حرف برابر است با(فرمول ۲)با الفبایی که ۲۶ حرف دارد، تعداد کلمه های چهار حرفی ممکن، از لحاظ نظری، برابر است با (فرمول ۳).
فرمول ۲: فرمول ۳:
اگر بعضی اعضا در دستۀ n عضوی تکراری باشند، تعداد جایگشت ها برابر است با!n تقسیم بر حاصل ضرب فاکتوریل های اعدادی که نشان دهندۀ تعداد دفعات تکرار اعضای تکراری هستند. مثلاً اگر شش حرف a,a,a,b,b,c را در نظر بگیریم، چون a سه بار و b دوبار تکرار شده است، تعداد جایگشت ها برابر است با(فرمول۴)نیز ← ترکیب
فرمول ۴: arrangement factorial
ساده‌ترین راه برای دست یافتن به هردوی آشفتگی و پخش استفاده از یک شبکه جانشینی جایگشت است. در این سیستم‌ها، متن رمز نشده و کلید اغلب یک نقش خیلی مشابه در تولید خروجی دارند، بنابراین یک مکانیزم یکسان است که نسبت به هردوی آشفتگی و پخش اطمینان می‌دهد.
در قرن بیستم بود که ظهور کامپیوتر امکان تحلیل منظم و اصولی فرایندها و الگوریتم‌هایی را که برای تولید جایگشتها و ترکیب‌ها به کار می‌روند. فراهم ساخت.
مباحث ترکیبیات بسیار گسترده‌اند ولی اساس آن بر پایه روش‌های شمارش است که از جمله این روش‌ها می‌توان به اصل جمع، اصل ضرب، جایگشت اشاره کرد.
در قسمت قبل در مورد گونه‌ای جایگشت توضیح دادیم که در آن اشیا در به دو متمایز بودند اما گاهی ممکن است این اشیا در به دو متمایز نباشند و مثلاً ۳ عدد از آن‌ها از یک نوع باشند. چنین حالاتی را جایگشت باتکرار بررسی می‌کند.
