ریمان

💡 فضای متقارن یک منیفولد ریمانی با بازتاب ایزومتریک در هر نقطه است. فضاهای متقارن نقش مهمی در مطالعه گروه های دروغ و هندسه ریمانی دارند.

💡 سطوح ریمانی مانند هر بخش دیگری از ریاضی دارای قضایای مهم خاص خود می‌باشد. در اینجا، به منظور روشن‌تر شدن محتوا، به برخی از مهم‌ترین و در عین حال مقدماتی‌ترین آن‌ها اشاره‌ای می‌شود.

💡 همچنین ریمان اثبات کرد که برای هر سری همگرا که مطلقاً همگرا نباشد می‌توان آرایشی معرّفی کرد که در آن مقدار سری تغییر کند.

💡 این منیفلد یکی از اشیای ریاضی بسیاری است که نامشان برگرفته از نام برنهارت ریمان است. تفاوت اساسی میان منیفلد های ریمانی و شبه ریمانی در آ ن است که در یک منیفلد شبه ریمانی نیازی نیست تانسور متریک مثبت معین باشد و در عوض شرط ضعیفتر غیرتبهگنی تحمیل می شود.

💡 وایراشتراس نشان داده‌بود که کمینه‌کردن تابع از راه اصل دیریکله محرز نیست. این نقد باعث شد که دیگران به روش‌های ریمان شک کنند. فرودنتال می‌نویسد؛

💡 حدس ریمان علاوه بر کرانه‌هایی که بر تابع شمارش اعداد اول تعیین می‌کند، کرانه‌هایی نیز بر روی رشد توابع ریاضی می‌گذارد.