خودهمبستگی

{autocorrelation} [آمار، ریاضی] مقدار همبستگی بین دو مقدار مختلف از یک سری زمانی مانا در دو نقطۀ زمانی به فاصلۀ معین

خودهمبستگی ( به انگلیسی: autocorrelation )، همبستگیِ متقابلِ سیگنال ( داده ها ) با خودش است. به طور غیررسمی، خودهمبستگی، همسانیِ ( شباهت ) سیگنال ( داده ها ) با نسخهٔ شیفت یافتهٔ خود است.
خودهمبستگی، ابزاری ریاضی برای یافتن الگوهای تکراری ( مانند حضور یک سیگنال متناوب در نویز )، یا شناسایی یک فرکانس مشخص در سیگنالی دارای فرکانس های هارمونیک است. از خودهمبستگی، اغلب در پردازش سیگنال برای تحلیل توابع یا داده ها از جمله تحلیل حوزه زمان سیگنال ها استفاده می شود.
در آمار، خودهمبستگی یک فرایند تصادفی، همبستگیِ مقادیر فرایند در زمان های مختلف را به عنوان تابعی دو - متغیّره ( زمان و شیفت زمانی )، یا تابعی تک متغیّره ( شیفت زمانی ) توصیف می کند. اگر X فرایندی تکرارپذیر باشد و i نقطه ای از زمان بعد از آغاز فرایند ( i عددی صحیح برای فرایند زمان گسسته یا عددی حقیقی برای فرایند زمان پیوسته ) است؛ بنابراین Xi مقدار ( یا تحقق ) فرایند در زمان i است.
فرض کنیم فرایند، با میانگین μi و واریانس σ۲i برای همه زمان های i تعریف شده است. خودهمبستگی فرایند در دو زمان s و t عبارت است از:
که E عملگر امید ریاضی است. این بیان برای همه فرایندها یا سری های زمانی، خوش تعریف نیست، چون ممکن است واریانس برابر صفر ( برای یک فرایند ثابت ) یا بینهایت باشد. اگر تابع R خوش تعریف باشد، مقدار آن باید در محدوده قرار گیرد، که ۱ نشان دهنده همبستگی کامل و ۱ - نشان دهنده ضدهمبستگی کامل است. اگر Xt یک فرایند ایستا ( به انگلیسی: Stationary ) باشد، میانگین μ و واریانس σ۲ مستقل از زمان هستند و خودهمبستگی فقط به تفاضل t و s بستگی دارد نه به مقدار مطلق آن ها. این موضوع بیان می کند که خودهمبستگی یک فرایند ایستا می تواند به عنوان تابعی از تأخیر ( شیفت ) زمانی بیان شود، و همچنین باید یک تابع زوج از τ = s − t باشد.
و با توجه به زوج بودن این تابع، می توانیم بگوییم:
این عمل مشترک در برخی رشته ها به غیر از آمار و تحلیل سری های زمانی، برای نرمال کردن به وسیله σ۲ و استفاده از «خودهمبستگی» مترادف با «اتو کوواریانس» است. به هر حال، نرمال کردن به دو دلیل اهمیت دارد: به علت تفسیر خودهمبستگی به عنوان یک همبستگی که مقدار بدون مقیاس «قدرت وابستگی آماری» را فراهم می کند و چون نرمال کردن روی خصوصیات آماری خودهمبستگی های برآورد شده مؤثر است.

مقدار همبستگی بین دو مقدار مختلف از یک سری زمانی مانا در دو نقطۀ زمانی به فاصلۀ معین.

💡 روش‌های قدم‌زدن تصادفی مونت کارلو یک نوع شبیه‌سازی تصادفی یا روش مونت کارلو هستند. با این حال، در حالی که نمونه‌های تصادفی به کاررفته در روش‌های مونت کارلوی معمول به لحاظ آماری مستقل هستند؛ آن‌هایی که در روش‌های زنجیره‌ی مارکف مونت کارلو مورد استفاده قرار می‌گیرند، خودهمبستگی دارند.

💡 در ادامه، تنها خصوصیات خودهمبستگی‌های تک بعدی شرح داده می‌شود، چون بیشتر خصوصیات به آسانی از یک مورد تک بعدی به موارد چند بعدی قابل تبدیل است.

💡 می توان نشان داد که خود همبستگی شدت یک پالس با طول پالس رابطه دارد. اگر مشخصات پالس گوسی باشد، عرض خودهمبستگی

💡 روش‌های تحلیل سری زمانی به دو دسته تقسیم می‌شوند: روش‌های دامنه فرکانس و روش‌های دامنه زمان. دسته اول شامل تحلیل طیفی و تحلیل موجک و دسته دوم شامل تحلیل‌های خودهمبستگی و همبستگی متقابل است.

💡 توابع همبستگی بین یک متغیر را توابع خودهمبستگی می‌گویند. با این وجود در مکانیک آماری، همه توابع همبستگی، خودهمبستگی نیستند. به‌عنوان مثال، در فازهای چندمولفه‌ای چگال شده مواد، چیزی که مورد علاقه است تابع همبستگی دوتایی بین مؤلفه‌های مختلف است.