بیشین کم

نهایتاً اجازه دهید اینطور بیان کنیم که برای اینکه S یک مرتب کامل (خطی) باشد، شرط کافی این است مطمئن باشیم که عضو بیشین، بزرگترین عضو است؛ ولی این شرط لازم نیست.

به نظر می‌رسد که m باید بزرگترین عضو یا ماکسیمم باشد ولی در حقیقت الزاماً اینطور نیست، این تعریف از عضو بیشین تا حدودی ضعیف است. فرض کنید s ∈ S و max S ≤ s بنابراین، با توجه به تعریف بزرگترین عضو، s ≤ max S پس s = max S. به عبارت دیگر، اگر ماکسیمم وجود داشته باشد، همان عضو بیشین (یکتا) است.

اگر تعدادی اعضای بیشین وجود داشته باشد، آن‌ها در برخی متن‌ها frontier نامیده شده‌اند. همچنان که در Pareto frontier.

معکوس آن درست نیست: عضوهای بیشین می‌توانند وجود داشته باشند درحالیکه هیچ ماکسیممی وجود ندارد. مثال 3 نمونه‌ای از وجود مقدار زیادی اعضای بیشین بدون وجود ماکزیمم است. مجدداً دلیل این مسئله این است که در حالت کلی ≥ فقط یک ترتیب جزئی روی S است. اگر m یک عضو بیشین باشد و s ∈ S، این امکان همچنان باقی می‌ماند که نه m ≤ s و نه s ≤ m.

به‌طور کلی ≤ فقط یک مرتب جزیی روی S است. اگر m یک عضو بیشین و s∈S باشد، احتمال اینکه نه s≤m و نه m≤s باشد، باقی می‌ماند. این، احتمال اینکه آنجا بسیاری ازعضوهای بیشین هست را باقی می‌گذارد.