تابع پیوسته

در ریاضیات، پیوستگی تابع (Continuous Function) به این معناست که تابع در مقادیر خروجی خود هیچ‌گونه تغییر ناگهانی (یا ناپیوستگی) نداشته باشد. به بیان دقیق‌تر، یک تابع پیوسته است اگر بتوان با محدود کردن ورودی به مقادیر خاص، تغییرات دلخواه کوچکی را در خروجی آن تضمین کرد. تابعی که پیوسته نباشد، ناپیوسته نامیده می‌شود. تا قرن نوزدهم، ریاضیدانان بیشتر به درک شهودی پیوستگی تکیه داشتند. در طول قرن نوزدهم، تلاش‌هایی برای تعریف دقیق پیوستگی با استفاده از مفهوم اپسیلون-دلتا (ε-δ) صورت گرفت. پیوستگی توابع یکی از مفاهیم اصلی و بنیادین در علم توپولوژی است و در این مقاله به طور کامل به آن پرداخته خواهد شد. بخش مقدماتی بر حالت خاص توابع با ورودی و خروجی اعداد حقیقی تمرکز خواهد داشت. شکل قوی‌تری از پیوستگی، پیوستگی یکنواخت نام دارد. علاوه بر این، این مقاله به تعریف پیوستگی توابع در حالت کلی‌تر بین فضاهای متریک نیز خواهد پرداخت. در نظریه ترتیب، به ویژه در نظریه دامنه، مفهوم پیوستگی با نام پیوستگی اسکات شناخته می‌شود. اشکال دیگری از پیوستگی نیز وجود دارند که در این مقاله مورد بحث قرار نمی‌گیرند. به عنوان مثالی از توابع پیوسته، می‌توان به تابع H(t) اشاره کرد که ارتفاع یک گل را بر حسب زمان نشان می‌دهد. در مقابل، تابع M(t) که مقدار پول در یک حساب بانکی را بر حسب زمان نشان می‌دهد، تابعی ناپیوسته محسوب می‌شود؛ زیرا در نقاطی که پول به حساب واریز یا از آن برداشت می‌شود، "پرش"‌هایی در مقادیر رخ می‌دهد.