حساب دیفرانسیل

{differential calculus} [ریاضی] قسمتی از حسابان که به موضوع مشتق و مباحث وابسته به آن می پردازد

در ریاضیات، حساب دیفرانسیل یکی از زیرمجموعه های حسابان است که به مطالعهٔ نرخ تغییرات کمیت ها می پردازد. این حساب یکی از دو بخش سنتی حسابان است که بخش دیگر آن، حساب انتگرال است.
هدف اصلی مطالعهٔ حساب دیفرانسیل، محاسبهٔ تغیرات یک تابع و کاربردهای آن است. مشتق تابع در یک نقطهٔ دلخواه، نرخ تغییرات تابع در آن نقطه را توصیف می کند. فرایند یافتن مشتق، مشتق گیری نامیده می شود. از نظر هندسی، مشتق در یک نقطه شیب خط مماس روی نمودار تابع با جهت مثبت محور طول ها در همان نقطه است؛ به شرطی که مشتق در آن نقطه موجود باشد. مشتق تابع حقیقی یک متغیره در هر نقطه، بهترین تقریب خطی برای تابع در آن نقطه است.
حساب دیفرانسیل و حساب انتگرال با قضیهٔ اساسی حسابان به یکدیگر مرتبط می شوند. این قضیه بیان می کند که مشتق گیری معکوس انتگرال گیری است.
مشتق گیری تقریباً در همهٔ علوم کمّی کاربرد دارد. برای نمونه، در فیزیک، مشتق جابجایی یک جسم متحرک برحسب زمان نشان دهندهٔ سرعت آن جسم و مشتق سرعت برحسب زمان بیانگر شتاب است. مشتق تکانهٔ یک جسم معادل با نیروی وارد بر آن جسم است و بازنویسی این مشتق گیری معادلهٔ معروف F = ma را که متناظر با قانون دوم حرکت نیوتن است، به دست می دهد. نرخ واکنش یک واکنش شیمیایی، یک مشتق است. مشتقات در تحقیق در عملیات، پربازده ترین روش های حمل مواد و طراح کارخانه ها را تعیین می کنند.
مشتقات برای یافتن بیشینه و کمینهٔ یک تابع نیز به کار می روند. معادلات دربرگیرندهٔ مشتقات، معادلات دیفرانسیل نامیده می شوند و در توصیف پدیده های طبیعی دارای اهمیت هستند. از مشتقات و تعمیم آن ها در بسیاری از شاخه های ریاضیات، مانند آنالیز مختلط، آنالیز تابعی، هندسهٔ دیفرانسیل، نظریهٔ اندازه و جبر مجرد بهره برده می شود.
فرض کنید x و y دو عدد حقیقی هستند و y تابعی از x است، یعنی برای هر مقدار x یک مقدار متناظر y وجود دارد. این رابطه را می توان به صورت y = f ( x ) نوشت. اگر f ( x ) معادلهٔ خط راست باشد، دو عدد حقیقی m و b وجود دارند که y = mx + b. در این رابطه، m شیب نامیده می شود و از رابطهٔ زیر قابل محاسبه است:
که در آن Δ ( حرف یونانی بزرگ دلتا ) نماد تغییرات است. عبارت بالا نتیجه می دهد که Δy = m Δx.
تابع ها عموماً خطی نیستند و شیب ثابت ندارند. از نظر هندسی، مشتق f در نقطهٔ x=a شیب خط مماس بر تابع f در نقطهٔ a است که معمولاً به صورت f ′ ( a ) در نمادگذاری لاگرانژی یا dy/dx| x = a در نمادگذاری لایبنیتزی نمایش داده می شود. از آن جایی که مشتق همان شیب تقریب خطی f در نقطهٔ a است، مشتق بهترین تقریب خطی f در نزدیکی a را به دست می دهد.

قسمتی از حسابان که به موضوع مشتق و مباحث وابسته به آن می‏پردازد.

💡 شاید نیوتن به دلیل هراس از مجازات و قضاوت از سوی همتایان خود در جامعهٔ علمی، عمداً تألیف‌های خود در موضوع کیمیاگری را منتشر نکرده‌است. نیوتن بسیار حساس به انتقاد بود، چونان که رابرت هوک او را نقد کرد و نیوتن از انتشار هرگونه اطلاعات در مورد حساب دیفرانسیل و انتگرال تا پیش از سال ۱۶۹۳ پشیمان شد. از طرفی او کمال‌گرایانه برخورد می‌کرد و از انتشار مطالبی که ناقص به نظر می‌رسیدند، می‌پرهیزید.

💡 با این حال، تورینگ توانایی‌اش را در زمینه‌های موردعلاقه‌اش به‌ خوبی‌ نشان می‌داد؛ با حل مسایل پیچیده در ۱۹۲۷، بی اینکه حتی حساب دیفرانسیل مقدماتی خوانده باشد.

💡 آمپر از کودکی به ریاضیات علاقه داشت و مقدمات حساب دیفرانسیل و انتگرال را نزد یکی از دوستان پدرش فرا گرفت. آمپر بر اساس اصول کتاب امیل روسو تربیت شد؛ به او اجازه داده‌شد که خود را مطابق ذوقش و در کتابخانه‌ای بزرگ پرورش دهد.

💡 آیزاک نیوتون با لایبنیتس بر سر اینکه کدام‌یک زودتر حساب دیفرانسیل و انتگرال را ابداع کرده‌اند، اختلاف داشت و هنگامی که لایبنیتس از آکادمی علوم سلطنتی درخواست کرد که کمیته‌ای بی‌طرف برای بررسی آن دست به کار شود، نیوتون که رئیس آکادمی بود، کمیته‌ای از دوستان خود را برای این کار برگزید. در نتیجه، لایبنیتس به سرقت فکری محکوم شد.

💡 یکایک شمردن یا شمارش، ممکن است به عنوان فرآیندی آشکار تلقی شود که هر دانشجو در آغاز مطالعه علم حساب فرا می‌گیرد؛ ولی به نظر می‌رسد که پس از آن، به تدریج که دانشجو به زمینه‌های «دشوارتر» ریاضیات، چون جبر، هندسه، مثلثات، و حساب دیفرانسیل و انتگرال می‌رسد توجه بسیار کمتری به گسترش بیشتر مفهوم شمارش مبذول می‌شود.