سوزن همگرا

{trailing point} [حمل ونقل ریلی] سوزنی که دو مسیر همگرا را به هم متصل می کند

سوزنی که دو مسیر همگرا را به هم متصل می‌کند.

💡 واگرایی سری هارمونیک ابتدا توسط ریاضیدان زمان قرون وسطی، نیکول اورسم اثبات شد. این مثال نشان می‌دهد که یک سری برای همگرا بودن احتیاج به داشتن شرایط دیگری نیز دارد.

💡 این الگوریتم نسبت به الگوریتم‌های قبلی خیلی سریع تر همگرا می‌شود و دارای دو نسخه است که در نسخه اول سرعت به شیوه زیر محاسبه می‌شود.

💡 حد اشاره شده در بالا یک حد معمولی نیست، زیرا سمت چپ این حد همگرا نیست. در عوض می‌توان گفت

💡 مطلقاً همگرا است. به این انتگرال، انتگرال اویلر نوع دوم نیز گفته می‌شود. انتگرال اویلر نوع اول، به نام تابع بتا شناخته می‌شود. با انتگرال‌گیری جزءبه‌جزء می‌توان رابطهٔ بازگشتی زیر را به دست آورد:

💡 رابطه بازگشتی پایدار است، بدین معنا که تکرارها بدون علامت خاصی همگرا به مقداری خاص هستند، اگر و تنها اگر مقادیر ویژه (ریشه‌های معادله مشخصه)، خواه حقیقی یا مختلط، تماماً کمتر از قدر مطلق واحد هستند.

💡 از آنجا که قدر نسبت کوچکتر از یک است این سری همگرا است. همگرایی این سری نیز به سمت 1 است.