دانشنامه عمومی
در ریاضیات، مجموعه ای چون A را زیرمجموعه B نامند هرگاه تمام اعضای A، اعضایی از B نیز باشند؛ در این حالت می گویند A زیر مجموعه B است. ممکن است هردوی A و B برابر باشند؛ در صورت نابرابریشان، گویند A زیرمجموعه سره ای از B است. رابطه زیرمجموعه بودن را شمول می نامند. «A زیرمجموعه B» را می توان به صورت «B شامل A» یا «B مجموعه A را در بر می گیرد» یا «A مشمول در B است» نیز بیان کرد.
روابط زیرمجموعگی روی مجموعه ها، رابطه ترتیب جزئی را رویشان تعریف می کند. در حقیقت، زیرمجموعه های یک مجموعه دلخواه، تحت رابطه زیرمجموعگی تشکیل جبر بولی می دهند که در آن جوین و میت همان اشتراک و اجتماع اند و خود رابطه زیرمجموعه بودن را رابطه شمول بولی می نامند.
اگر A و B دو مجموعه باشند و تمام اعضای A در B نیز باشد، آنگاه:
• می توان گفت که A {\displaystyle A} زیرمجموعهٔ B {\displaystyle B} است. و آن را به صورت A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} می توانیم بنویسیم.
همچنین از سوی دیگر می توان گفت:
• B زیرمجموعهٔ A است.
به عنوان مثال، اگر داشته باشیم B = { 1 , 2 , 3 , 7 }
اگر مجموعهٔ A زیرمجموعهٔ B باشد و هم زمان مجموعهٔ B نیز زیرمجموعهٔ A، مجموعه های A و B با یکدیگر برابرند.
اگرA ⊂ B، ولی A≠ B آنگاه A زیر مجموعه محض یا سره Bنامیده می شود
همه زیر مجموعه های یک مجموعه به جز خود مجموعه را زیر مجموعه های محض یا سره می گویند.
به عنوان مثال، A = { 1 , 2 , 3 } و B = { 1 , 2 , 3 , 7 } باشد آنگاه A زیر مجموعه محض ( سره ) مجموعه B می باشد.
توجه داشته باشید هر مجموعه ϕ ( تهی ) را به عنوان زیر مجموعه سره خود دارد اما خود ϕ ( تهی ) زیر مجموعه سره ندارد.
تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه n عضوی برابر است با 2 n.
تعداد زیر مجموعه های محض ( سره ) یک مجموعه n عضوی برابر است با 2 n − 1.
