توزیع هندسی
دانشنامه عمومی
که در آن p احتمال پیروزی در یک دفعه است.
فرض کنید آزمایش های مستقلی با احتمال موفقیت p، آن قدر تکرار می شود تا یک موفقیت به دست آید. اگر X تعداد آزمایش های لازم باشد، آنگاه:
P { X = n } = ( 1 − p ) n − 1 p n = 1 , 2 , 3 …
می دانیم شرط لازم و کافی برای X=n آن است که ابتدا، n - 1 آزمایش شکست و n اُمین آزمایش موفقیت باشد. از آنجا که برآمدهای متوالی آزمایش ها بنا به فرض مستقل هستند داریم :
هر متغیر تصادفی که تابع جرم احتمال به صورت بالا باشد را یک متغیر ( فرایند ) تصادفی هندسی با پارامتر p می نامیم.
در نتیجه با احتمال ۱، یک موفقیت بالاخره اتفاق می افتد. هر متغیر تصادفی که تابع جرم احتمال به صورت بالا باشد را یک متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p می نامیم.
• فرض کنیم می خواهیم رمز عبور 8 کاراکتری یک کامپیوتر را حدس بزنیم. چند مرتبه باید این کار را تکرار کنیم؟
• فرض کنیم یک دارو به احتمال p سبب درمان شود، دارو روی چندمین بیمار مؤثر واقع می شود؟
• فرض کنیم احتمال برد یک تیم p باشد، چند مرتبه این تیم باید بازی کند تا یک بازی را ببرد ؟
قصیه: امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با
می دانیم p X ( k ) = ( 1 − p ) k − 1 p بنابراین برای محاسبه امید ریاضی می بایست عبارت زیر را محاسبه کنیم
پس با ترکیب دو رابطه ی بالا برای متغیر تصادفی هندسی داریم
حال اگر فرض کنیم
داریم
در نتیجه
قضیه: واریانس متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با
var = 1 − p p 2
فرض می کنیم پیشامد A = { X = 1 } و پیشامد B = { X > 1 } با توجه به اینکه A و B افرازهای فضای نمونه ی ما هستند، داریم
می دانیم
E = E = 1
و
بنابراین
E = 1 × p + ( E + 2 p + 1 ) ( 1 − p )
E = 2 − p p 2
در نهایت از آنجا که var = E − ( E ) 2 داریم
var = 2 − p p 2 − 1 p 2 = 1 − p p 2
فرض کنیم می دانیم تعداد دفعاتی که سکه ای را اندخته ایم از n بیشتر است، احتمال اینکه سکه را بیش از n+m دفعه بی اندازیم تا شیر بیاید چقدر است ؟
