استقرای ترامتناهی
دانشنامه عمومی
روابط بازگشتی ترامتناهی ( به انگلیسی: transfinite recursion ) شبیه به استقرای ترامتناهی است. با این حال، به جای اثبات این که چیزی برای همه اعداد ترتیبی صحیح است، ما دنباله ای از اشیاء، یکی برای هر اوردینال، می سازیم. به عنوان مثال، یک پایه از فضای برداری ( احتمالاً بی نهایت بُعدی ) را می توان با انتخاب یک بردار v0 و با انتخاب یک بردار برای هر اوردینال α که در فضای بردارهای تولید شده توسط {vβ | β < α} نیست، ساخت. این فرایند زمانی که هیچ برداری نتواند انتخاب شود متوقف می شود. به بیان رسمی تر، می توانیم قضیه روابط بازگشتی ترامتناهی را به طور زیر شرح دهیم: قضیه روابط بازگشتی ترامتناهی ( نسخه ۱ ) . برای یک تابع کلاسی داده شده G: V → V ( که در آن V کلاس همه مجموعه هاست ) ، یک دنباله ترامتناهی منحصر به فرد F: Ord → V ( که در آن Ord کلاس همه اعداد ترتیبیست ) وجود دارد به طوری که ( F ( α ) = G ( F⌠α برای همه اعداد ترتیبی α؛ که ⌠ نشان دهنده تحدید دامنه F به اعداد ترتیبی کوچکتر از α است. مانند حالت استقرا، ممکن است ما انواع مختلف اردینال ها را به طور جداگانه در نظر بگیریم: نسخه دیگری از روابط بازگشتی ترامتناهی به شرح زیر است: قضیه روابط بازگشتی ترامتناهی ( نسخه ۲ ) . برای مجموعهٔ داده شدهٔ g۱ و توابع کلاسی G۲ و G۳، یک تابع منحصر به فرد F: Ord → V وجود دارد به طوری که F ( ۰ ) = g۱، ( ( F ( α + ۱ ) = G۲ ( F ( α، برای هر α ∈ Ord، ( F ( λ ) = G3 ( F ⌠ λ، برای تمام اعداد حدی λ ≠۰. توجه داشته باشید که لازم است دامنه های G۲ ، G۳ به اندازه کافی گسترده باشند تا خواص فوق معنی دار شوند. منحصر به فرد بودن این دنباله که موجب صحت این خواص می شود از طریق استقرای ترامتناهی به اثبات می رسد. به طور کلی، می توان هر چیزی را توسط روابط بازگشتی ترامتناهی در هر رابطه خوش بنیان R تعریف کرد. ( R نیاز نیست که حتماً یک مجموعه باشد. می تواند یک کلاس سره باشد، به شرط آن که یک رابطه «مجموعه مانند» باشد که برای هر x، مجموعهٔ تمام yهایی که x R y باید یک مجموعه باشد )
