اجداد و نیاکان آیت‌الله حسینی انگجی از افراد متدین، محترم و تجارت‌پیشه بودند که نقش مهمی در رشد، آبادانی و بهبود وضعیت اقتصادی کشور داشتند. آثار برجای‌مانده از خاندان انگجی در تبریز شامل سراهای حاج سید حسین، حاج میرابوالحسن، حاج میرزا محمد و همچنین تیمچه و بازار حاج میرابوالحسن است.
سید مهدی، فرزند آیت‌الله حاج میرزا ابوالحسن، پسر حاج میرزا محمد شیخ الشریعه، پسر حاج میرزا محمدعلی، پسر حاج میرزا محمد، پسر امیر آقا، پسر عبدالباقر، پسر امیر ابوالخیر، پسر امیر سراج‌الدین عبدالوهاب حسینی می‌باشد که نسبش به سادات شنب غازان می‌رسد. سادات شنب غازان از سادات مدینه منوره بوده‌اند که در زمان سلطان محمود غازان و با دعوت او راهی تبریز شده و در منطقه شنب غازان اقامت گزیدند.
پدر ایشان، آیت‌الله حاج میرزا ابوالحسن انگجی، فرزند حاج میرزا محمد شیخ الشریعه، در سال 1282 قمری متولد شد. او نخستین مراحل تحصیل را در تبریز آغاز کرد و در سال 1304 قمری به عتبات عالیات رفت. او از محفل درس عالمان بزرگی همچون میرزا محمدفاضل ایروانی، میرزا حبیب‌الله رشتی، شیخ محمدحسین کاظمینی و محمدحسن ممقانی بهره برد. پس از چهار سال، در سال 1308 قمری به تبریز بازگشت. وی از مدافعان راستین مکتب محمدی و مبارزان فعال علیه رژیم دیکتاتوری رضاخان بود.
آیت‌الله میرزا ابوالحسن انگجی در تاریخ 18 ذی‌القعده 1357 قمری در تبریز وفات یافت و پیکر مطهر او در مقبره خانوادگی واقع در گورستان قدیمی درب گجیل تبریز به خاک سپرده شد. علاوه بر آثار ارزشمند و تألیفات سودمند، او چهار دختر و شش پسر فاضل و دانشمند به یادگار گذاشت که همه از بزرگان علم و دین بودند. اسامی پسران وی عبارتند از: آیت‌الله سید حسن انگجی، آیت‌الله سید محمدعلی انگجی، آیت‌الله سید مهدی انگجی، دکتر سید اسماعیل انگجی، دکتر سید ابراهیم انگجی و دکتر محمود انگجی.
سید مهدی در سال 1323 قمری (1283 شمسی) در محله انگج تبریز، در خانواده‌ای اهل علم و سیادت چشم به جهان گشود. پدرش از مراجع تقلید زمان خود بود و مادرش، بانو زهرا سلطان سرکارات، زنی صالح و مؤمن بود. دوران کودکی وی در محیطی سرشار از علم و تقوا سپری شد. با توجه به استعداد فراوان و علاقه‌ای که به فراگیری علوم دینی داشت، تحصیلات مقدماتی و دوره سطح خود را نزد دانشوران تبریز از جمله پدر دانشمندش به پایان رسانید. سید مهدی در سن بیست‌وپنج سالگی راهی قم شد و تحصیلات عالی خود را نزد علمای بزرگی همچون آیت‌الله سید محمد حجت، آقا میرزا محمد همدانی، آیت‌الله سید محمدرضا گلپایگانی، آیت‌الله شیخ عبدالکریم حائری یزدی (مؤسس حوزه علمیه قم) و علامه سید محمدحسین طباطبایی ادامه داد. او توانست مدارج علمی را با سرعت طی کرده و اجازه اجتهاد را از آیت‌الله حائری یزدی دریافت کند.
پس از 15 سال اقامت در حوزه علمیه قم و بعد از وفات استاد برجسته‌اش آیت‌الله شیخ عبدالکریم حائری یزدی در سال 1355 قمری، سید مهدی به زادگاه خود بازگشت و به خدمات دینی مشغول شد.